【费马定理是什么】“费马定理”这一说法在数学界并不准确，通常人们指的是“费马小定理”或“费马大定理”。由于“费马定理”并非一个正式的数学名称，因此在实际使用中容易引起混淆。以下是对这两个著名定理的简要总结。
一、费马小定理（Fermat's Little Theorem）
定义：若 $ p $ 是一个质数，且 $ a $ 是一个不被 $ p $ 整除的整数，则有：
$$
a^{p-1} equiv 1 mod p
$$
应用：常用于数论中的模运算和密码学（如RSA算法）中。
特点：
- 只适用于质数 $ p $
- 要求 $ a $ 与 $ p $ 互质
二、费马大定理（Fermat's Last Theorem）
定义：对于任何大于2的整数 $ n $，方程 $ x^n + y^n = z^n $ 没有正整数解。
历史背景：由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出，他在书页边缘写下：“我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白太小，写不下。” 直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才完成证明。
应用：主要在数论领域，对现代数学发展有深远影响。
特点：
- 证明过程极其复杂
- 涉及椭圆曲线和模形式等高级数学工具
三、对比总结表
| 项目 | 费马小定理 | 费马大定理 |
| 提出者 | 费马 | 费马 |
| 时间 | 17世纪 | 17世纪 |
| 内容 | 若 $ p $ 是质数，$ a $ 不被 $ p $ 整除，则 $ a^{p-1} equiv 1 mod p $ | 对于 $ n > 2 $，方程 $ x^n + y^n = z^n $ 无正整数解 |
| 应用 | 数论、密码学 | 数论、数学理论 |
| 证明时间 | 未明确证明（后人证明） | 1994年由怀尔斯证明 |
| 难度 | 相对简单 | 极其复杂 |
四、结语
“费马定理”这一术语在数学中并不存在，但“费马小定理”和“费马大定理”是两个非常重要的数学成果。前者在计算和密码学中有广泛应用，后者则是数学史上最具挑战性的问题之一。理解这两者有助于更好地认识数论的魅力与深度。